Học TậpLớp 11

Công thức cấp số nhân: Lý thuyết và bài tập

Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Vậy công thức tính cấp số nhân như thế nào? Cấp số nhân có những tính chất nào? Mời các bạn học sinh lớp 11 hãy cùng BBBZ theo dõi bài viết dưới đây nhé. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm: công thức cấp số cộng.

1. Cấp số nhân là gì?

– Định nghĩa: Dãy số left( {{U}_{n}} right) được xác định bởi: left( {{U}_{n}} right)=left{ begin{matrix} {{u}_{1}}=a \ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \ end{matrix}left( nin mathbb{N}* right) right. thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

– Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},... với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ….

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

– Cấp số nhân bắt đầu là phần tử {{u}_{1}} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

{{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},nge 1

Rightarrow q=sqrt[n-1]{frac{{{a}_{n}}}{a}},nge 1

3. Tính chất cấp số nhân

– Ba số hạng {{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi

u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1} left(nge1right)

4. Tổng cấp số nhân

– Tổng số hạng đầu của cấp số nhân:

sumlimits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}

Nhân cả 2 vế với: left( 1-q right)

Leftrightarrow left( 1-q right){{S}_{n+1}}=left( 1-q right)sumlimits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

Rightarrow {{S}_{n+1}}=sumlimits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=frac{aleft( 1-{{q}^{n+1}} right)}{1-q}}

5. Chú ý về cấp số nhân

a. Dãy số left( {{U}_{n}} right) là một cấp số nhân, công sai d Leftrightarrow frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c

6. Ví dụ về cấp số nhân

Cho cấp số nhân left( {{U}_{n}} right) thỏa mãn: {{u}_{n}}={{3}^{frac{n}{2}+1}}

a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân

b. Tính S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}

c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.

Gợi ý đáp án

a. Ta có: frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=frac{{{3}^{frac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{frac{n}{2}+1}}}=sqrt{3}=const không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số left( {{U}_{n}} right) là một cấp số nhân với số hạng đầu {{u}_{1}}=3sqrt{3} và công bội là q=sqrt{3}

b. Ta có: {{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}} lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là {{u}_{2}}=9,q=3 và có 10 số hạng nên

Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=frac{9}{2}left( {{3}^{10}}-1 right)

c. Ta có: {{u}_{n}}=19683Rightarrow {{3}^{frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}Leftrightarrow n=16

7. Bài tập cấp số nhân

Bài 1: Chứng minh các dãy số sau là csn:

a. u_{n}=frac{3}{5} cdot 2^{n}

b. u_{n}=frac{5}{2^{n}}

c. mathrm{u}_{n}=left(-frac{1}{2}right)^{n}

d. u_{n}=3^{n}

e. u_{n}=n+3

f. u_{n}=3 cdotleft(begin{array}{lll}frac{1}{2}end{array}right)^{n}

quad g. u_{n}=(-5)^{2 n+1} quad h. u_{n}=(-1)^{n} cdot 3^{3 n+1}

Bài 2: Cho csnleft(u_{n}right): 2,6,18,54,162, ldots . Tính u_{1}, q, u_{10}, S_{10}

Bài 3: Csn có mathrm{u}_{2}=12, mathrm{u}_{4}=48. Hỏi số 192 là số hang thứ mấy.

Bài 4: Csn có u_{n}=frac{3}{2} cdot 5^{n}. Tìm mathrm{u}_{1}, q.

Bài 5: Cho csn left(mathrm{u}_{n}right) với mathrm{u}_{1}=3, mathrm{q}=-frac{1}{2}. a. Tính mathrm{u}_{7}.

b. Số frac{3}{256} là số hang thứ mấy.

Bài 6: Xác đinh số hang đầu và công bôi của csn, biết:

a. left{begin{array}{l}u_{5}=96 \ u_{6}=192end{array}right.

b. left{begin{array}{l}u_{5}=16 \ u_{6}=1end{array} quadright.

c. left{begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=25 \ u_{3}-u_{1}=50end{array}right.

e. left{begin{array}{l}u_{1}+u_{3}+u_{5}=-21 \ u_{2}+u_{4}=10end{array}right.

f. left{begin{array}{l}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65 \ u_{1}+u_{7}=325end{array}right.

Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Vậy công thức tính cấp số nhân như thế nào? Cấp số nhân có những tính chất nào? Mời các bạn học sinh lớp 11 hãy cùng BBBZ theo dõi bài viết dưới đây nhé. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm: công thức cấp số cộng.

1. Cấp số nhân là gì?

– Định nghĩa: Dãy số left( {{U}_{n}} right) được xác định bởi: left( {{U}_{n}} right)=left{ begin{matrix} {{u}_{1}}=a \ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \ end{matrix}left( nin mathbb{N}* right) right. thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

– Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},... với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ….

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

– Cấp số nhân bắt đầu là phần tử {{u}_{1}} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

{{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},nge 1

Rightarrow q=sqrt[n-1]{frac{{{a}_{n}}}{a}},nge 1

3. Tính chất cấp số nhân

– Ba số hạng {{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi

u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1} left(nge1right)

4. Tổng cấp số nhân

– Tổng số hạng đầu của cấp số nhân:

sumlimits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}

Nhân cả 2 vế với: left( 1-q right)

Leftrightarrow left( 1-q right){{S}_{n+1}}=left( 1-q right)sumlimits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

Rightarrow {{S}_{n+1}}=sumlimits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=frac{aleft( 1-{{q}^{n+1}} right)}{1-q}}

5. Chú ý về cấp số nhân

a. Dãy số left( {{U}_{n}} right) là một cấp số nhân, công sai d Leftrightarrow frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c

6. Ví dụ về cấp số nhân

Cho cấp số nhân left( {{U}_{n}} right) thỏa mãn: {{u}_{n}}={{3}^{frac{n}{2}+1}}

a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân

b. Tính S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}

c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.

Gợi ý đáp án

a. Ta có: frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=frac{{{3}^{frac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{frac{n}{2}+1}}}=sqrt{3}=const không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số left( {{U}_{n}} right) là một cấp số nhân với số hạng đầu {{u}_{1}}=3sqrt{3} và công bội là q=sqrt{3}

b. Ta có: {{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}} lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là {{u}_{2}}=9,q=3 và có 10 số hạng nên

Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=frac{9}{2}left( {{3}^{10}}-1 right)

c. Ta có: {{u}_{n}}=19683Rightarrow {{3}^{frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}Leftrightarrow n=16

7. Bài tập cấp số nhân

Bài 1: Chứng minh các dãy số sau là csn:

a. u_{n}=frac{3}{5} cdot 2^{n}

b. u_{n}=frac{5}{2^{n}}

c. mathrm{u}_{n}=left(-frac{1}{2}right)^{n}

d. u_{n}=3^{n}

e. u_{n}=n+3

f. u_{n}=3 cdotleft(begin{array}{lll}frac{1}{2}end{array}right)^{n}

quad g. u_{n}=(-5)^{2 n+1} quad h. u_{n}=(-1)^{n} cdot 3^{3 n+1}

Bài 2: Cho csnleft(u_{n}right): 2,6,18,54,162, ldots . Tính u_{1}, q, u_{10}, S_{10}

Bài 3: Csn có mathrm{u}_{2}=12, mathrm{u}_{4}=48. Hỏi số 192 là số hang thứ mấy.

Bài 4: Csn có u_{n}=frac{3}{2} cdot 5^{n}. Tìm mathrm{u}_{1}, q.

Bài 5: Cho csn left(mathrm{u}_{n}right) với mathrm{u}_{1}=3, mathrm{q}=-frac{1}{2}. a. Tính mathrm{u}_{7}.

b. Số frac{3}{256} là số hang thứ mấy.

Bài 6: Xác đinh số hang đầu và công bôi của csn, biết:

a. left{begin{array}{l}u_{5}=96 \ u_{6}=192end{array}right.

b. left{begin{array}{l}u_{5}=16 \ u_{6}=1end{array} quadright.

c. left{begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=25 \ u_{3}-u_{1}=50end{array}right.

e. left{begin{array}{l}u_{1}+u_{3}+u_{5}=-21 \ u_{2}+u_{4}=10end{array}right.

f. left{begin{array}{l}u_{1}-u_{3}+u_{5}=65 \ u_{1}+u_{7}=325end{array}right.

Related Articles

Back to top button